Matematikk-notater

I løpet av de årene jeg har undervist ved Høgskolen i Tromsø / Universitetet i Tromsø, har jeg skrevet mange forelesningsnotater i matematikk. Til sammen vil de omtrent dekke den grunnleggende matematikk-undervisningen i et ingeniørstudium. De fleste notatene har lenker til oppgaver med løsningsforslag. Noen av disse oppgavene er gamle eksamensoppgaver.

Repetisjon:
    Grunnleggende algebra.
    Brøkregning.
    Kvadratrøtter.
    Løsing av likninger.
    Polynomdivisjon.
    Delbrøkoppspalting.
    Vektorregning.

Litt logikk og mengdelære:
    Litt om matematisk logikk (med lenker til tilleggsnotater).
    Litt om mengdelære.
    Litt om logikken bak løsing av likninger.
    Induksjonsbevis.

Grunnleggende funksjonslære:
    Grunnleggende begrep.
    Polynomfunksjoner.
    Brøkfunksjoner.
    Funksjoner på intervallform.
    Grenser.
    Kontinuitet.

Potens- og rotregning, logaritmer, eksponentialfunksjoner:
    Grunnleggende potens- og rotregning.
    Logaritmer.
    Eksponentialfunksjoner.
    Logaritmefunksjoner.
    Hyperbolske funksjoner.

Trigonometri:
    Grunnleggende trigonometri.
    Trekantberegninger.
    Trigonometriske identiteter.
    Generelle sinus- og cosinus-funksjoner.
    Mer om trigonometriske likninger og ulikheter.
    Sfærisk trigonometri.

Derivasjon:
    Grunnleggende definisjoner.
    Derivasjonsregler.
    Høyere ordens deriverte.
    Kjerneregelen.
    Derivasjon av inverse funksjoner.
    Implisitt derivasjon.
    Logaritmisk derivasjon.

Bruk av derivasjon:
    Optimering.
    Noen økonomiske anvendelser.
    Tilvekstformel og differensial.
    L'Hôpitals regel.
    Numerisk løsing av likninger (Newtons metode)
    Endringshastigheter.
    Sekantsetningen og Rolles setning.
    Krumning.

Integrasjon:
    Definisjoner og grunnleggende regler.
    Substitusjon.
    Bruk av delbrøkoppspalting.
    Delvis integrasjon.
    Noen mer avanserte teknikker.
    Litt om numerisk integrasjon.
    Uegentlige integral.

Bruk av integrasjon:
    Arealberegning.
    Volumberegning (skivemetoden og sylinderskallmetoden)
    Beregning av buelengde.
    Beregning av areal av rotasjonsflate.
    Massesenter.
    Treghetsmoment.

Noen andre emner:
    Parameterframstilling.
    Polarkoordinater.
    Kjeglesnitt.

Første ordens differensiallikninger:
    Innledning.
    Separable likninger.
    Lineære likninger.
    Andre typer.
    Litt om retningsfelt.
    Litt om numerisk løsing.

Bruk av første ordens differensiallikninger.
    Vekstmodeller.
    Radioaktiv nedbrytning.
    Massebalanse.
    Rettlinjet bevegelse.
    Litt elektrisitetslære.
    Litt om varmetransport.

Komplekse tall:
    Komplekse tall.

Andre ordens lineære differensiallikninger:
    Innledende definisjoner.
    Homogene likninger med konstante koeffisienter.
    Inhomogene likninger med konstante koeffisienter.
    Høyere ordens likninger.
    System av 1.ordens likninger.

Svingninger:
    Innledning, med linker til bl.a. noen fysiske system.
    Dempede svingninger.
    Tvungne svingninger med resonans.
    Bruk av komplekse størrelser.
    Elektrisk seriekrets.

Funksjoner av flere variable:
    Innledning.
    Grenseverdier og kontinuitet.
    Partielle deriverte.
    Tangentplan og tilvekstformel.
    Optimering:
        Oversikt.
        Ubegrenset område.
        Bibetingelser (Lagranges metode).
        Begrenset område.
    Litt om integrasjon.

Tallfølger og rekker:
    Innledning.
    Generelt om tallfølger.
    Generelt om rekker.
    Aritmetiske og geometriske tallfølger og rekker.
    Litt om annuitetslån.
    Konvergenskriterier for rekker.
    Potensrekker.
    Taylor-rekker.

Lineære differenslikninger:
    Første ordens likninger.
    Andre ordens likninger.
    Høyere orden.
    System av første ordens.

Matriser og determinanter:
    Grunnleggende matriseregning.
    Determinanter.
    Inverse matriser.
    Likningssystemer (bl.a. Gauss-eliminasjon).
    Litt om vektorrom.
    Litt om transformasjoner.

Egenverdier og egenvektorer:
    Definisjoner og regneteknikker.
    Sammenfallende egenverdier.
    Komplekse egenverdier.
    Setninger om egenverdier og egenvektorer.
    Diagonalisering.

Bruk av egenverdier og egenvektorer:
    System av lineære 1.ordens differenslikninger.
        Sammenfallende egenverdier.
        Komplekse egenverdier.
        Markov-kjeder.
    System av lineære 1.ordens differensiallikninger.
        Homogene likningssystem.
        Sammenfallende egenverdier.
        Komplekse egenverdier.
        Inhomogene likningssystem.
    Kvadratiske former.

Fourier-rekker:
    Innledning.
    Beregning av Fourier-rekker.
    Jamne og odde funksjoner, halvperiodiske utvidelser.
    Tilleggsstoff:
        Løsing av differensiallikninger.
        Amplitude-fase-form.
        Kompleks form.
        Litt om Fourier-transformen.

Laplace-transform:
    Introduksjon.
    Beregning av Laplace-transformer.
    Invers Laplace-transform.
    Løsing av differensiallikninger.
    Transferfunksjoner.
    Heavisides sprangfunksjon.
    Impulsfunksjon og impulsrespons.
    Periodiske funksjoner.

Z-transform:
    Innledning.
    Beregning av Z-transformer.
    Invers Z-transform.
    Løsing av differenslikninger.
    Diskrete systemer.